Il mio senso della fisica mi dice che la velocità di lancio è la velocità di fuga.
Questa minimizzazione potrebbe funzionare meglio con un rapporto tra il cambiamento totale di energia del sistema di asteroidi più il materiale espulso rispetto all'energia del materiale espulso. L'equazione del razzo è di qualche aiuto. L'equazione del razzo è una conservazione del risultato del momento con
d (mv) / dt = 0 -> (m -? m) (v +? v) -? mV = 0
dove V è la velocità della massa di reazione,? v e? m è il cambiamento di velocità e perdita di massa del “razzo”, o in questo caso l'asteroide, e m e v sono la massa e la velocità iniziali dell'oggetto. Impostiamo v = 0 e otteniamo
? v = V (? m / m)
e la velocità integrata verso l'alto è v = V ln (m_i / m_f), per m_i la massa iniziale e m_f la massa finale. Se il cambiamento di massa è piccolo, abbiamo
v ~ = V (m_i / m_f - 1)
e il momento dell'asteroide alla fine è p ~ = V (m_i - m_f). Ora lasciamo V = u - v_e, per v_e la velocità di fuga e la velocità dell'oggetto scartate. Ciò significa che V è la velocità dell'oggetto scacciato "all'infinito".
Supponiamo ora di ridurre al minimo l'energia cinetica dell'asteroide K = (1/2) p ^ 2 / m_f per un dato lancio di energia cinetica E = (1/2)? Mu ^ 2. Costruiamo un rapporto senza dimensioni,
R = p ^ 2 / m_f / (? Mu ^ 2 / = (p / u) ^ 2 / (? Mm_f) = (? M / m_f) (1 - v_e / u) ^ 2.
A proposito, è importante lavorare con un rapporto senza dimensioni. Quindi minimizziamo questo per un dato? M e calcoliamo u. Quindi minimizziamo
F (u) = (1 - v_e / u) ^ 2, -> dF (u) / du = -2 (1 - v_e / u) * v_e / u ^ 2,
e questo è zero in v_e = u. Questo sembra un po 'strano data la formula dell'equazione del razzo, ma ne discuterò di seguito.
Prendiamo quindi la seconda derivata per determinare se questo è un massimo o un minimo e otteniamo
d ^ 2F (u) / du ^ 2 = 4 (1 - v_e / u) * (v_e / u ^ 2) ^ 2 - 2 (v_e / u ^ 2) ^ 2
che in u = v_e è -2 <0 e quindi è un minimo, quello che vogliamo. È anche chiaro che u = v_e è l'energia cinetica minima che possiamo impartire sulla massa.
Sembra strano che abbiamo v ~ = V (m_i / m_f - 1), che per V = u - v_e è zero in u = v_e. Tuttavia, per u = v_e l'asteroide si sta spostando fino a quando l'oggetto scacciato non raggiunge l'infinito. Lo scopo è quello di creare uno spostamento dell'asteroide, e quando l'oggetto scacciato raggiunge "l'infinito" l'asteroide raggiungerà una certa distanza di spostamento.
LC
