Un team di matematici ha appena fatto un grande passo verso la risposta a una domanda di 160 milioni di dollari in matematica?
Può essere. L'equipaggio ha risolto una serie di altre piccole domande in un campo chiamato teoria dei numeri. E nel fare ciò, hanno riaperto una vecchia strada che alla fine potrebbe portare a una risposta alla vecchia domanda: l'ipotesi di Riemann è corretta?
L'ipotesi di Reimann è una congettura matematica fondamentale che ha enormi implicazioni per il resto della matematica. Costituisce la base per molte altre idee matematiche, ma nessuno sa se sia vero. La sua validità è diventata una delle domande aperte più famose in matematica. È uno dei sette "problemi del millennio" presentati nel 2000, con la promessa che chiunque li risolverà vincerà $ 1 milione. (Da allora solo uno dei problemi è stato risolto.)
Da dove è venuta questa idea?
Nel 1859, un matematico tedesco di nome Bernhard Riemann propose una risposta a un'equazione matematica particolarmente spinosa. La sua ipotesi è questa: la parte reale di ogni zero non banale della funzione zeta di Riemann è 1/2. È un'affermazione matematica piuttosto astratta, che ha a che fare con quali numeri puoi inserire in una particolare funzione matematica per rendere tale funzione uguale a zero. Ma risulta molto importante, soprattutto per quanto riguarda le domande su quanto spesso incontrerai i numeri primi mentre conti verso l'infinito.
Torneremo ai dettagli dell'ipotesi più tardi. Ma la cosa importante da sapere ora è che se l'ipotesi di Riemann è vera, risponde a molte domande in matematica.
"Così spesso nella teoria dei numeri, ciò che finisce per accadere è se si assume l'ipotesi di Riemann, si è quindi in grado di dimostrare tutti i tipi di altri risultati", Lola Thompson, teorica dei numeri presso l'Oberlin College in Ohio, che non era coinvolta in quest'ultima ricerca, ha detto.
Spesso, ha detto a Live Science, i teorici dei numeri dimostreranno innanzitutto che qualcosa è vero se l'ipotesi di Riemann è vera. Quindi useranno quella prova come una sorta di trampolino verso una prova più complessa, che mostra che la loro conclusione originale è vera se l'ipotesi di Riemann è vera o no.
Il fatto che questo trucco funzioni, ha detto, convince molti matematici che l'ipotesi di Riemann deve essere vera.
Ma la verità è che nessuno lo sa per certo.
Un piccolo passo verso una prova?
In che modo questa piccola squadra di matematici sembra avvicinarci a una soluzione?
"Ciò che abbiamo fatto nel nostro documento", ha affermato Ken Ono, teorico dei numeri alla Emory University e coautore della nuova prova, "è che abbiamo rivisitato un criterio molto tecnico che equivale all'ipotesi di Riemann ... e abbiamo dimostrato che parte di esso. Abbiamo dimostrato gran parte di questo criterio ".
Un "criterio equivalente all'ipotesi di Riemann", in questo caso, si riferisce a un'affermazione separata che è matematicamente equivalente all'ipotesi di Riemann.
Non è ovvio a prima vista perché le due affermazioni siano così connesse. (Il criterio ha a che fare con qualcosa chiamato "iperbolicità dei polinomi di Jensen".) Ma negli anni 1920, un matematico ungherese di nome George Pólya ha dimostrato che se questo criterio è vero, allora l'ipotesi di Riemann è vera - e viceversa. È una vecchia strada proposta per dimostrare l'ipotesi, ma è stata in gran parte abbandonata.
Ono e i suoi colleghi, in un articolo pubblicato il 21 maggio sulla rivista Proceedings of Natural Academy of Sciences (PNAS), hanno dimostrato che in molti, molti casi, il criterio è vero.
Ma in matematica, molti non sono sufficienti per essere considerati una prova. Ci sono ancora alcuni casi in cui non sanno se il criterio è vero o falso.
"È come giocare a un Powerball da un milione di numeri", ha detto Ono. "E conosci tutti i numeri tranne gli ultimi 20. Se anche uno solo di quegli ultimi 20 numeri è sbagliato, perdi ... Potrebbe cadere ancora tutto a pezzi."
I ricercatori dovrebbero presentare una prova ancora più avanzata per dimostrare che il criterio è vero in tutti i casi, dimostrando così l'ipotesi di Riemann. E non è chiaro quanto sia lontana una tale prova, ha detto Ono.
Quindi, quanto è grande questo articolo?
In termini di ipotesi di Riemann, è difficile dire quanto sia grande. Molto dipende da cosa succederà dopo.
"Questa è solo una delle tante formulazioni equivalenti dell'ipotesi di Riemann", ha detto Thompson.
In altre parole, ci sono molte altre idee che, come questo criterio, dimostrerebbero che l'ipotesi di Riemann è vera se fossero essi stessi dimostrati.
"Quindi, è davvero difficile sapere quanti progressi siano, perché da un lato ha fatto progressi in questa direzione. Ma ci sono così tante formulazioni equivalenti che forse questa direzione non produrrà l'ipotesi di Riemann. Forse uno dei gli altri teoremi equivalenti invece, se qualcuno può dimostrarne uno ", ha detto Thompson.
Se la prova si presenta su questa traccia, probabilmente ciò significa che Ono e i suoi colleghi hanno sviluppato un importante quadro di base per risolvere l'ipotesi di Riemann. Ma se si presenta da qualche altra parte, questo articolo si rivelerà meno importante.
Tuttavia, i matematici sono impressionati.
"Sebbene questo rimanga lontano dal dimostrare l'ipotesi di Riemann, è un grande passo avanti", ha scritto Encrico Bombieri, un teorico dei numeri di Princeton che non era coinvolto nella ricerca del team, in un articolo PNAS del 23 maggio. "Non c'è dubbio che questo documento ispirerà ulteriori lavori fondamentali in altre aree della teoria dei numeri, nonché nella fisica matematica".
(Bombieri ha vinto una medaglia Fields - il premio più prestigioso in matematica - nel 1974, in gran parte per il lavoro legato all'ipotesi di Riemann.)
Cosa significa comunque l'ipotesi di Riemann?
Ho promesso che saremmo tornati su questo. Ecco di nuovo l'ipotesi di Riemann: la parte reale di ogni zero non banale della funzione zeta di Riemann è 1/2.
Analizziamolo in base a come Thompson e Ono lo hanno spiegato.
Innanzitutto, qual è la funzione zeta di Riemann?
In matematica, una funzione è una relazione tra diverse quantità matematiche. Un semplice potrebbe assomigliare a questo: y = 2x.
La funzione zeta di Riemann segue gli stessi principi di base. Solo che è molto più complicato. Ecco come appare.
È la somma di una sequenza infinita, in cui ogni termine - i primi sono 1/1 ^ s, 1/2 ^ se 1/3 ^ s - viene aggiunto ai termini precedenti. Queste ellissi significano che le serie nella funzione continuano così, per sempre.
Ora possiamo rispondere alla seconda domanda: che cos'è uno zero della funzione zeta di Riemann?
È più facile. Uno "zero" della funzione è qualsiasi numero che è possibile inserire per x che fa sì che la funzione sia uguale a zero.
Domanda successiva: qual è la "parte reale" di uno di quegli zeri e cosa significa che è uguale a 1/2?
La funzione zeta di Riemann implica ciò che i matematici chiamano "numeri complessi". Un numero complesso è simile al seguente: a + b * i.
In tale equazione, "a" e "b" indicano qualsiasi numero reale. Un numero reale può essere qualsiasi cosa da meno 3, a zero, a 4,99234, pi o 1 miliardo. Ma c'è un altro tipo di numero: numeri immaginari. I numeri immaginari emergono quando prendi la radice quadrata di un numero negativo e sono importanti, mostrandosi in tutti i tipi di contesti matematici.
Il numero immaginario più semplice è la radice quadrata di -1, che è scritta come "i". Un numero complesso è un numero reale ("a") più un altro numero reale ("b") volte i. La "parte reale" di un numero complesso è che "a".
Alcuni zeri della funzione zeta di Riemann, numeri interi negativi compresi tra -10 e 0, non contano per l'ipotesi di Reimann. Questi sono considerati zeri "banali" perché sono numeri reali, non numeri complessi. Tutti gli altri zeri sono numeri "non banali" e complessi.
L'ipotesi di Riemann afferma che quando la funzione zeta di Riemann attraversa lo zero (ad eccezione di quegli zeri tra -10 e 0), la parte reale del numero complesso deve essere uguale a 1/2.
Quella piccola affermazione potrebbe non sembrare molto importante. Ma è. E potremmo essere solo un po 'più vicini a risolverlo.
