"Verso l'infinito e oltre!"
Hai mai pensato profondamente al famoso slogan di Buzz Lightyear dei film "Toy Story"? Probabilmente no. Ma forse a volte hai alzato lo sguardo al cielo notturno e ti sei chiesto della natura dell'infinito stesso.
L'Infinito è un concetto strano, sul quale il cervello umano fa fatica a racimolare la sua comprensione limitata. Diciamo che l'universo potrebbe essere infinito, ma può davvero continuare all'infinito? O le cifre di pi dopo il decimale - corrono effettivamente all'infinito, dandoci sempre più precisione sul rapporto tra circonferenza e raggio di un cerchio? E, potrebbe Buzz avere ragione? C'è qualcosa oltre l'infinito?
Per far fronte a queste speculazioni sconvolgenti, Live Science ha chiesto l'aiuto del matematico Henry Towsner dell'Università della Pennsylvania a Filadelfia, che è stato così gentile da provare a rispondere alla domanda "Riesci a contare oltre l'infinito?" (Attenzione: questo diventerà complicato.)
L'infinito, ha detto Towsner, si trova in un posto strano: la maggior parte delle persone sente di avere un'intuizione sul concetto, ma più ci pensano, più strano diventa.
I matematici, d'altra parte, spesso non pensano all'infinito come un concetto a sé stante, ha aggiunto. Piuttosto, usano diversi modi di pensarci per arrivare ai suoi molti aspetti.
Ad esempio, ci sono diverse dimensioni di infinito. Ciò è stato dimostrato dal matematico tedesco Georg Cantor alla fine del 1800, secondo una storia dell'Università di St Andrews in Scozia.
Cantor sapeva che i numeri naturali - cioè numeri interi e positivi come 1, 4, 27, 56 e 15.687 - vanno avanti per sempre. Sono infiniti e sono anche ciò che usiamo per contare le cose, quindi le ha definite "infinitamente numerabili", secondo un utile sito di storia, matematica e altri argomenti del fumettista educativo Charles Fisher Cooper.
I gruppi di numeri infinitamente numerabili hanno alcune proprietà interessanti. Ad esempio, anche i numeri pari (2, 4, 6, ecc.) Sono infinitamente numerabili. E mentre ce ne sono tecnicamente la metà di quanti sono racchiusi dall'insieme completo di numeri naturali, sono comunque lo stesso tipo di infinito.
In altre parole, puoi posizionare tutti i numeri pari e tutti i numeri naturali affiancati in due colonne e entrambe le colonne andranno all'infinito, ma sono la stessa "lunghezza" dell'infinito. Ciò significa che metà dell'infinito numerabile è ancora infinito.
Ma la grande intuizione di Cantor era di rendersi conto che c'erano altre serie di numeri che erano infinitamente infinite. I numeri reali - che includono i numeri naturali, nonché le frazioni e i numeri irrazionali come pi - sono più infiniti dei numeri naturali. (Se desideri sapere come ha fatto Cantor e gestire una notazione matematica, puoi consultare questo foglio di lavoro dell'Università del Maine.)
Se dovessi allineare tutti i numeri naturali e tutti i numeri reali uno accanto all'altro in due colonne, i numeri reali si estenderebbero oltre l'infinito dei numeri naturali. In seguito Cantor impazzì, probabilmente per ragioni estranee al suo lavoro sull'infinito, secondo Cooper.
Cosa conta?
Quindi, torniamo alla questione del conteggio dell'infinito passato. "Ciò che la matematica ti fa chiedere è: 'Cosa significa veramente?" Disse Towsner. "Cosa intendi contando l'infinito passato?"
Per risolvere il problema, Towsner ha parlato dei numeri ordinali. A differenza dei numeri cardinali (1, 2, 3 e così via), che indicano quante cose ci sono in un insieme, gli ordinali sono definiti dalle loro posizioni (primo, secondo, terzo, ecc.) E sono stati introdotti in matematica da Cantor, secondo il sito Web di matematica Wolfram MathWorld.
Nei numeri ordinali c'è un concetto chiamato omega, indicato dalla lettera greca ω, ha detto Towsner. Il simbolo ω è definito come la cosa che viene dopo tutti gli altri numeri naturali - o, come lo chiamava Cantor, il primo ordinale transfinito.
Ma una delle cose sui numeri è che puoi sempre aggiungerne un altro alla fine, ha detto Towsner. Quindi esiste una cosa come ω + 1, e ω + 2 e persino ω + ω. (Nel caso ti stia chiedendo, alla fine hai colpito un numero chiamato ω1, che è noto come il primo ordinale non numerabile.)
E poiché contare è come aggiungere numeri aggiuntivi, questi concetti in un certo senso ti permettono di contare oltre l'infinito, ha detto Towsner.
La stranezza di tutto ciò è parte del motivo per cui i matematici insistono nel definire rigorosamente i loro termini, ha aggiunto. A meno che tutto sia in ordine, è difficile separare la nostra normale intuizione umana da ciò che può essere provato matematicamente.
"La matematica ti sta dicendo: 'Introspezione profonda, cosa conta?" Disse Towsner.
Per noi semplici mortali, queste idee potrebbero essere difficili da calcolare completamente. In che modo esattamente i matematici che lavorano affrontano tutti questi affari divertenti nella loro ricerca quotidiana?
"Gran parte è pratica", ha detto Towsner. "Sviluppi nuove intuizioni con l'esposizione e quando l'intuizione fallisce, puoi dire: 'Stiamo parlando di questa rigorosa prova dettagliata passo dopo passo.' Quindi, se questa prova è sorprendente, possiamo ancora verificare che sia corretta e quindi imparare a sviluppare una nuova intuizione al riguardo ".
